Coeficiente binomial

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Coeficiente binomial es otro nombre otorgado al operador de combinaciones <math>{a \choose b}</math>.

Éste se refiere al número de combinaciones (no ordenadas) que pueden obtenerse al tomar <math>b</math> elementos de un total de <math>a</math>. Formalmente está definido como:

<math>{a \choose b} = {a! \over {b!(a-b)!}} \qquad \forall a,b \in \mathbb{N}^* \ / \ b \le a</math>

Es el coeficiente numérico del <math>(b+1)</math>-ésimo término de la expansión de un binomio a través del teorema del binomio, y de ahí su nombre.

Tiene las siguientes propiedades:

• <math>{n \choose 0} = {n \choose n} = 1</math>

• <math>{n \choose k} = {n \choose n-k}</math>

• <math>{n \choose k+1} = {n \choose k}{n-k \over k+1}</math>

• <math>{n+1 \choose k+1} = {n \choose k}{n+1 \over k+1}</math>

• <math>{n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1}</math>

• <math>\sum_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n</math>