Igualdades notables

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En matemáticas se conocen como igualdades notables algunas identidades ciertas en todo anillo abeliano (que a veces debe ser unitario, en particular en el conjunto de los números enteros, de los reales o de los complejos. Sirven en general para acelerar los cálculos, simplificar algunas expresiones, factorizar o desarrollar expresiones matemáticas.

Aquí se citan las más conocidas: en un anillo abeliano unitario A, para todo par (a,b) de elementos de A y para todo entero n, se tiene:

• <math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>
• <math>(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2</math>
• <math>(a-b)(a+b) = a^2 - b^2</math>
• <math>(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3</math>
• <math>(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3</math>
• <math>a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)</math>
• <math>a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)</math>

Que se generaliza así:

• <math>(a-b)\sum_{i=0}^{i=n}a^ib^{n-i} = a^{n+1} - b^{n+1}</math>
• <math>(a+b)^n = \sum_{i=0}^{i=n}C_n^ia^ib^{n-i}</math> que tiene el nombre de binomio de Newton.

Notación: en las fórmulas que se acaban de mostrar las C son los coeficientes binomiales <math>C_n^i=\frac{n!}{i!(n-i)!} = {n \choose i}</math> donde k! designa el factorial de k.