Matriz triangular

De Freepedia, la enciclopedia libre.

Una matriz de nxm elementos:

<math>

A = \begin{pmatrix}

 a_{11} & a_{12} & a_{13} & . & . & .& a_{1m}\\
 a_{21} & a_{22} & a_{23} & . & . & .& a_{2m}\\
 a_{31} & a_{32} & a_{33} & . & . & .& a_{3m}\\

. & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & . & . & .& a_{nm}\\ \end{pmatrix} </math>

es triangular superior, si es una matriz cuadrada y <math> a_{ij} = 0 </math> para todo i>j (i,j =1,2,3,...,n). Es decir,

<math>

A = \begin{pmatrix}

 a_{11} & a_{12} & a_{13} & . & . & .& a_{1n}\\
 0 & a_{22} & a_{23} & . & . & .& a_{2n}\\
 0 & 0 & a_{33} & . & . & .& a_{3n}\\

. & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ 0 & 0 & 0 & . & . & .& a_{nn}\\ \end{pmatrix} </math>

En caso contrario, si <math> a_{ij} = 0 </math> para todo i<j (i,j =1,2,3,...,n), entonces A es matriz triangular inferior que tiene la forma:

<math>

A = \begin{pmatrix}

 a_{11} & 0 & 0 & . & . & .& 0\\
 a_{21} & a_{22} & 0 & . & . & .& 0\\
 a_{31} & a_{32} & a_{33} & . & . & .& 0\\

. & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & . & . & .& a_{nn}\\ \end{pmatrix} </math>

Por ejemplo, para n = 3:

<math>\begin{pmatrix}

1 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}</math> es triangular superior y

<math>\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 \\ 2 & 8 & 0 \\ 4 & 9 & 7 \\ \end{pmatrix}</math> es triangular inferior.

Se suelen emplear las letras U y L, respectivamente, ya que U es la inicial de "upper triangular matrix" y L de "lower triangular matrix", los nombres que reciben estas matrices en inglés.

En general, se pueden realizar las operaciones en estas matrices en la mitad de tiempo.