Teoría de juegos
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La teoría de juegos es un área de las matemáticas que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos). Sus investigadores estudian las estrategias óptimas así como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos. Tipos de interacción aparentemente distintos pueden, en realidad, presentar estructuras de incentivos similares y, por lo tanto, representar conjuntamente un mismo juego.
John von Neumann y Oskar Morgenstern fueron los primeros en formalizar el tema en 1944, en su libro "Theory of Games and Economic Behavior" ("Teoría de juegos y comportamiento económico")
La teoría psicológica de juegos, que se arraiga en la escuela psicoanalítica del análisis transaccional, es enteramente distinta.
Un ejemplo muy conocido de la aplicación de la teoría de juegos a la vida real es el dilema del prisionero, popularizado por el matemático Albert W. Tucker, el cual tiene muchas implicaciones para comprender la naturaleza de la cooperación humana.
Una contribución importante, llamada "Equilibrio de Nash", procede del matemático y premio nobel de economía John Forbes Nash.
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Definiciones matemáticas
Hay unas cuantas definiciones alternativas de la noción de un "juego".
Diseño de un juego en forma normal
Un juego en forma normal o estratégica combina el conjunto de posibles estrategias para cada jugador y toma nota de cada evento. Sea <math> \mathrm{N} </math> el conjunto de jugadores. Para cada jugador <math> i \in \mathrm{N} </math> existe un conjunto dado de estrategias <math> \Sigma\ ^i </math>. El juego es entonces una función
- <math> \pi\ : \prod_{i\in \mathrm{N}} \Sigma\ ^i \to \mathbb{R}^\mathrm{N}</math>
Así que, si uno sabe la n-ada de estrategias que fueron elegidas por los jugadores, a uno se le da sus pagos, una asignación de un número real.
Una generalización adicional puede ser lograda dividiendo el juego en dos funciones: la "forma normal del juego" que describe la manera en que las estrategias definen eventos, y una segunda función que ilustra las preferencias del jugador sobre el conjunto de eventos. Así:
- <math> \pi\ : \prod_{i \in \mathrm{N}} \Sigma\ ^i \to \Gamma\ </math>
donde <math> \Gamma\ </math> es el conjunto de eventos del juego. Y para cada jugador <math> i\in \mathrm{N} </math> hay una función de preferencia
- <math> \nu\ ^i : \Gamma\ \to \mathbb{R} </math>.
También existe una forma normal reducida. Esta combina estrategias asociadas con el mismo pago.
Forma extensa de un juego
La forma normal da al matemático una notación sencilla para el estudio de los problemas de equilibrio, porque desestima la cuetión de como las estrategias son calculadas, en otras palabras, como el juego en realidad es jugado. La notación conveniente para tratar estas cuestiones, más relevantes para la teoría combinatoria de juegos, es la forma extensa del juego. Esta es dada por un árbol, donde en cada vértice del árbol el jugador diferente tiene el privilegio de elegir un lado.
Juego simple
Las formas normal y extensa capturan la esencia de los juegos no-cooperativos. Pero en algunos juegos la formación de coaliciones y la forma en que la cooperación se desarrolla is más importante. Para tratar con cuestiones de cooperación, la noción de juego simple ha sido desarrolllada.
Relación con otras áreas
La teoría de juegos tiene la inusitada característica de ser un área en que la sustancia subyacente es principalmente una categoría de matemáticas aplicadas, pero la mayoría de la investigación fundamental es desempeñada por especialistas en otras áreas. En algunas universidades se enseña y se investiga casi exclusivamente fuera del departamento de matemáticas.
Esta teoría tiene aplicaciones en numerosas áreas, entre las cuales cabe destacar las ciencias económicas, la biología evolutiva, la psicología, las ciencias políticas y la estrategia militar.
En biología se ha utilizado ampliamente para comprender y predecir ciertos resultados de la evolución, como el concepto de estrategia evolutiva estable introducido por John Maynard Smith en su ensayo "Teoría de Juegos y la Evolución de la Lucha". Ver también su libro "Evolución y Teoría de Juegos".
Tiene fuertes vínculos con las ciencias económicas porque intenta encontrar estrategias racionales en situaciones donde el resultado depende no solamente de la estrategia de un participante y de las condiciones del mercado, sino también de las estrategias elegidas por otros jugadores, con objetivos distintos o coincidentes. Las aplicaciones en estrategia militar fomentaron algunos de los primeros desarrolos de la teoría.
La teoría de juegos ha venido desempeñando un papel cada vez mayor en los campos de lógica y ciencias informáticas. Varias teorías de lógica se basan en la semántica propia a los juegos, e informáticos ya han utilizado juegos para representar computaciones. La lógica de la computabilidad intenta desarrollar una teoría formal y completa (es decir, una lógica) de tareas y recursos computacionales, representando estas entidades como juegos entre un agente de computación y su entorno.
Puede utilizarse para analizar juegos de simple diversión o aspectos más importantes de la vida y la sociedad. El dilema del prisionero, tal y como fue popularizado por el matemático Albert W. Tucker, proporciona un ejemplo de la aplicación de la teoría de juegos a la vida real: tiene numerosas ramificaciones en las características de la cooperación humana.
Los biólogos la han utilizado para comprender y predecir resultados de la evolución. De esta forma surgió el concepto de la estrategia evolucionariamente estable, introducida por John Maynard Smith y George R. Price en un monográfico publicado en 1973 en la revista Nature (Véase también: John Maynard Smith 1982), teoría de juegos evolutiva y ecología comportamental).
Los analistas de juegos utilizan asiduamente otras áreas de las matemáticas, en particular las probabilidades, las estadísticas y la programación lineal, en conjunto con la teoría de juegos.
Tipos de juegos y ejemplos
La teoría clasifica los juegos en muchas categorías que determinan qué métodos particulares se pueden aplicar para resolverlos (y, de hecho, también cómo se define "resolución" en una categoría particular). Las categorías comunes incluyen:
Juegos de suma cero y de suma no cero
En los juegos de suma cero el beneficio total para todos los jugadores del juego, en cada combinación de estrategias, siempre suma cero (en otras palabras, un jugador se beneficia solamente a expensas de otros). Go, ajedrez y póker son ejemplos de juegos de suma cero, porque se gana exactamente la cantidad que pierde el oponente.
La mayoría de ejemplos reales en negocios y política, al igual que el dilema del prisionero, son juegos de suma no cero, porque algunos desenlaces tienen resultados netos mayores o menores que cero. Es decir, la ganancia de un jugador no necesariamente se corresponde con la pérdida de otro. Por ejemplo, un contrato de negocios involucra idealmente un desenlace de suma positiva, donde cada oponente termina en una posición mejor que la que tendría si no se hubiera dado el negocio.
Se puede analizar más fácilmente un juego de suma cero, y cualquier juego se puede transformar en un juego de suma cero añadiendo un jugador "ficticio" adicional ("el tablero"), cuyas pérdidas compensen las ganancias netas de los jugadores.
La matriz de pagos de un juego es una forma conveniente de representación. Por ejemplo, un juego de suma cero de dos jugadores con la siguiente matriz:
Jugador 2
Accción A Acción B Acción C
Acción 1 30 -10 20
Jugador 1
Acción 2 10 20 -20
Este juego procede de la siguiente manera: el primer jugador elige una de las dos acciones, 1 o 2; y el segundo jugador, desconociendo la elección del primer jugador, elige una de las tres acciones A, B o C. Cuando los jugadores han hecho sus elecciones, se asigna el pago según la tabla. Por ejemplo, si el primer jugador elige la acción 2 y el segundo la acción B, el primer jugador gana 20 puntos y el segundo jugador pierde 20 puntos. Ambos jugadores conocen la matriz de pagos e intentan maximizar el número de sus puntos. ¿Qué deberían hacer? (Claramente, el Jugador 2 no elegirá la acción A.)
Juegos cooperativos
Un juego cooperativo se caracteriza por un contrato que puede hacerse cumplir. La teoría de los juegos cooperativos da justificaciones de contratos plausibles. La plausibilidad de un contrato está muy relacionada con la estabilidad.
Negociación axiomática
Dos jugadores negocian qué tanto quieren invertir en un contrato. La teoría de la negociación axiomática nos muestra cuánta inversión es conveniente para nosotros. Por ejemplo, la Solución de Nash para la negociación demanda que la inversión sea justa y eficiente (consultar un libro de texto para la descripción formal y completa).
De cualquier forma, podríamos no estar interesados en la justicia y exigir más. ¿Cómo enfrenta la solución de Nash este problema? De hecho, existe un juego no-cooperativo que consiste en alternar ofertas (creado por Rubinstein) que apoya la solución de Nash considerándola la mejor, por el llamado equilibrio de Nash.
Juegos de función característica
Varios jugadores, en vez de dos, pueden cooperar para obtener mejores resultados. Igualmente, cuanta participacion de los resultados, debería ser dada a cada jugador, no está claro. Núcleo (core) da un set razonable de posibles participaciones. Una combinacion de participaciones está en un núcleo si no existen sub-coaliciones en el cual sus miembros puedan ganar un resultado total superior, que la participacion que se busca. Si la participacion no está en núcleo, algunos miembros pueden frustrarse y pueden pensar en abandonar el grupo con otros miembros, y formar un grupo más pequeño.
Juegos de información completa
- Artículo principal: Información completa
En los juegos de información completa cada jugador tiene la misma "información relevante al juego" que los demás jugadores. El ajedréz y el dilema del prisionero ejemplifican juegos de información completa. Los juegos de información completa ocurren raramente en el mundo real, y los teóricos de los juegos, usualmente los ven solo como aproximaciones del juego realmente jugado.
Evitación de riesgo
Artículo principal: Evitando el riesgo Para que funcione el ejemplo anterior, uno debe sumir participantes del juego con riesgo-neutral. Por ejemplo, esto significa que ellos apostarían una misma cantidad en una apuesta con un %50 de posibilidades de recibir 20 puntos, que lo que apostarían en una apuesta con %100 de posibilidades de obtener 10 puntos. Aunque en la realidad, la gente por lo general muestran comportamientos de evitación del riezgo, y prefieren resultados más seguros - solo toman riezgos si esperan hacer dinero la mayoría de las veces. La teoría de La subjetividad de la utilidad esperada explica como medir la utilidad que siempre satisfacerá el criterio del riesgo-neutral, y por lo tanto sirve como una medida del resultado en la teória de los juegos. Los Programas de concursos proveen ejemplos de evitación del riezgo. Por ejemplo, si una persona tiene 1 chance en 3 de ganar $50.000, o puede tomar $10.000 sin arriesgar, mucha gente tomará la opción de los $10.000. Las Loterías muestran el comportamiento opuesto de busqueda del riesgo: por ejemplo muchas personas arriesgarían $1 para comprar 1 chance en 14.000.000 de ganar $7.000.000. Esto demuestra la naturaleza de las preferencia de las personas sobre el riezgo: son amantes del riezgo cuando las posibles perdidas son pequeñas y evitan el riezgo cuando las posibles perdidas son grandes, incluso si las ganancias potenciales son mayores - a la gente le importa menos $1 que digamos $1.000 -, la mayoría de las personas no arriezgarían $1.000 por la misma chance de ganar $7.000.000.000.
Juegos y numeros
John Conway desarrolló una notación para algunos juegos de información completa y definió varias operaciones en esos juegos, originalmente para estudiar los finales de Go, aunque mucho del analisis se enfocó en Nim. Esto devino en la Teoría del juego combinatorio. En una conexión sorpresiva, el encontró que una cierta sub-clase de esos juegos pueden ser usados como numeros como describió en su libro On Numbers and Games, llegando a la clase muy general de los Números irreales.
Ver además Juegos matemáticos; Inteligencia Artificial; Paradoja de Newcomb; Dilema del prisionero.
Libros relacionados
- Oskar Morgenstern, John von Neumann: The Theory of Games and Economic Behavior, 3rd ed., Princeton University Press, 1953.
- Maynard Smith: Evolution and the Theory of Games, Cambridge University Press, 1982.
Enlaces externos
- Paul Walker: An Outline of the History of Game Theory.
- Alvin Roth: Game Theory and Experimental Economics page (extensa lista de enlaces a la teoría).
- Mike Shor: Lecture notes, interactive illustrations and other information - GameTheory.net.
