Teoría del Caos

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Teoría del caos es la denominación popular de la rama de las matemáticas y la física que trata ciertos tipos de comportamientos aleatorios ("caóticos") de los sistemas dinámicos.

Los sistemas dinámicos se pueden clasificar grosso modo en:

Estables
Inestables
Caóticos, Caos determinista

Un sistema estable tiende a lo largo del tiempo a un punto, u órbita, según su dimensión (atractor). Un sistema inestable se escapa de los atractores. Y un sistema caótico manifiesta los dos comportamientos. Por un lado, existe un atractor por el que el sistema se ve atraído, pero a la vez, hay "fuerzas" que lo alejan de éste. De esa manera, el sistema permanece confinado en una zona de su espacio de estados, pero sin tender a un atractor fijo.

Una de las mayores características de un sistema inestable es que tiene una gran dependencia de las condiciones iniciales. De un sistema del que conocemos sus ecuaciones características, y con unas condiciones iniciales fijas, se puede conocer exactamente su evolución en el tiempo. Pero en el caso de los sistemas caóticos, una mínima diferencia en esas condiciones hace que el sistema evolucione de manera totalmente distinta. Ejemplos de tales sistemas incluyen la atmósfera, el sistema solar, las placas tectónicas, los fluidos turbulentos y los crecimientos de población.

Por ejemplo, el tiempo atmosférico, según describió Edward Lorenz, se describe por 3 ecuaciones diferenciales bien definidas. Siendo así, conociendo las condiciones iniciales, podríamos conocer la predicción del tiempo en el futuro. Pero, al ser éste un sistema caótico, y no poder conocer nunca con exactitud los parámetros que fijan las condiciones iniciales (en cualquier sistema de medición, por definición, siempre se comete un error, por pequeño que éste sea) hace que aunque conozcamos el modelo, éste diverja de la realidad pasado un cierto tiempo. Por otra parte, el modelo atmosférico es teórico y puede no ser perfecto, y el determinismo, en el que se basa, es también teórico.

Movimiento caótico

Para poder clasificar el comportamiento de un sistema como caótico, el sistema debe tener las siguientes propiedades:

Debe ser sensible a sus condiciones iniciales
Debe ser transitivo
Sus órbitas periódicas deben ser densas.

Sensibilidad a las condiciones iniciales significa que dos puntos en tal sistema deben moverse en trayectorias muy diferentes en sus fases del espacio incluso si la diferencia en sus configuraciones iniciales son muy pequeñas. El sistema se comportaria de manera identica solo si sus configuraciones iniciales fueran exactamente las mismas. Un ejemplo de tal sensibilidad es el así llamado "efecto mariposa", donde el aleteo de las alas de una mariposa se supone que crea delicados cambios en la atmósfera los cuales durante el curso del tiempo se modifican hasta hacer que ocurra algo tan dramático como un tornado. La mariposa aleteando sus alas representa un pequeño cambio en las condiciones iniciales del sistema el cual causa una cadena de eventos que lleva a fenómenos a gran escala como tornados. Si la mariposa no hubiera agitado sus alas, la trayectoria del sistema hubiera podido ser tremendamente distinta.

La sensibilidad a las condiciones iniciales está relacionada con el exponente Lyapunov. El exponente Lyapunov es una cantidad que caracteriza el ratio de separación de trayectorias infinitesimalmente cercanas.

Transitividad significa que la aplicacion de las transformaciones de cualquier intervalo dado Isub-1 se expanden hasta que se superpone con otro intervalo dado Isub-2.

Atracciones

Una manera de visualizar el movimiento caótico, o cualquier tipo de movimiento, es hacer un diagrama de fases del movimiento. En tal diagrama el tiempo es implícito y cada eje representa una dimensión del estado. Por ejemplo, un sistema en descanso será dibujado como un punto, y un sistema en movivmiento periódico sera dibujado como una simple curva cerrada.

Un diagrama de fases para un sistema dado depende del estado inicial del sistema (tanto como de unos ciertos parámetros), pero a menudo el diagrama de fases revela que el sistema termina haciendo el mismo movimiento para todos los estados iniciales en una región alrededor del movimiento, casi pensar que el sistema es atraido por ese movimiento. Tal movimiento atrayente es apropiadamente llamado una atracción para el sistema y es muy común para sistemas disipadores de fuerazo.

De acuerdo a la forma que sus trayectorias evolucionen, las atracciones pueden ser clasificadas como periódicas, cuasi-periódicas y extrañas. Estos nombres se relacionan exactamente con el tipo de movimiento que exhiben.

Atracciones extrañas

La mayoría de los tipos de movimientos mencionados arriba produce atracciones muy simples, tales como puntos y curvas circulares llamadas ciclos limitados; el movimiento caótico lleva a lo que se conoce como atracciones extrañas, atracciones que pueden tener gran detalle y complejidad. Por ejemplo, un simple modelo tridimensional del sistema de tiempo de Lorenz lleva a la famosa atracción de Lorenz. La atracción de Lorenz es quizá uno de los diagramas de sistemas caóticos mejor conocidos, quizá no sólo porque era el primero, sino también uno de los más complejos y como tal muestra una pauta muy interesante que parece las alas de una mariposa.

Atracciones extrañas ocurren tanto en los sistemas continuos dinámicos (tales como el sistema de Lorenz) como en algunos sistemas discretos (por ejemplo el mapa Hènom). Otros sistemas dinámicos discretos tienen una estructura repelente llamada de tipo Julia la cual se forma en el límite entre las cuencas de dos puntos de atracción fijos. Julia puede ser sin embargo una atracción extraña. Ambos, atracciones extrañas y tipo Julia tienen típicamente una estructura fractal.

El teorema Poincaré-Bendixson muestra que una atracción extraña puede sólo presentarse como un sistema continuo dinámico si tiene tres o mas dimensiones. Sin embargo, tal restricción no se aplica a los sitemas discretos, los cuales pueden exhibir atracciones extrañas en sistemas de dos o incluso una dimensión.

Sistemas dinámicos y teoría del caos

Los Sistemas dinámicos y teoría del caos son una rama de las Matemáticas, desarrollada en la segunda mitad del Siglo XX, que estudia lo complicado, lo impredecible, lo que no es lineal. A veces se la llama "Matemática de lo no lineal".

Para los no iniciados en matemáticas, el nombre "Teoría del Caos" puede inducir a error por dos motivos:

No necesariamente es una teoría sino que puede entenderse como un gran campo de investigación abierto, que abarca diferentes líneas de pensamiento.
Caos está entendido no como ausencia de orden, sino como cierto tipo de orden de características impredecibles, pero descriptibles en forma concreta y precisa. Es decir: un tipo de orden de movimiento impredecible.

La idea de la que parte la teoría del caos es simple: en determinados sistemas naturales, pequeños cambios en las condiciones iniciales conducen a enormes discrepancias en los resultados. Este principio suele llamarse efecto mariposa debido a que, en meteorología, la naturaleza no lineal de la atmósfera ha hecho afirmar a muchos científicos que es posible que el aleteo de una mariposa en determinado lugar y momento, pueda ser la causa de un terrible huracán varios meses más tarde en la otra punta del globo.

Un ejemplo claro sobre el efecto mariposa es soltar una pelota justo sobre la arista del tejado de una casa varias veces; pequeñas desviaciones en la posición inicial pueden hacer que la pelota caiga por uno de los lados del tejado o por el otro, conduciendo a trayectorias de caída y posiciones de reposo final completamente diferentes. Cambios minúsculos que conducen a resultados totalmente divergentes.

En teoría de caos, los sistemas dinámicos son estudiados a partir de su "Espacio de Fases", es decir, la representación coordenada de sus variables independientes. En estos sistemas caóticos, es fácil encontrar trayectorias de movimiento no periódico, pero cuasi-periódicas.

En este esquema se suele hablar del concepto de Atractores Extraños: trayectorias en el espacio de fases hacia las que suelen tender todas las trayectorias normales. En el caso de un péndulo oscilante, el atractor sería el punto de equilibrio central.

Los atractores extraños suelen tener formas geométricas caprichosas, y en muchos casos parecidos o similitudes a diferentes escalas. En este caso, a estas formas que son iguales a sí mismas en diferentes escalas, se les ha dado en llamar "objetos fractales".

La llamada "Teoría del Caos" es un nuevo paradigma matemático, tan amplio y tan importante, como pudo ser en su época la unión entre geometría y cálculo, surgida del pensamiento cartesiano, aunque quizás, por su inmadurez, aún no tengamos claro todo lo que puede dar de si esta nueva forma de pensamiento matemático, que abarca campos de aplicación tan dispares como la medicina, la geología, o la economía.

La llamada "Teoria del Caos" no tiene un solo padre fundador, sino muchos. Entre ellos cabe destacar a Lorentz (Meteorólogo), Benoit Mandelbrot (Ingeniero Comunicaciones), Edward Feigenbaum (Matemático), Libchaber (Físico), Winfree (Biólogo), Mandell (Psiquiatra), y otros muchos, la mayoría de ellos vivos actualmente.