Teorema del binomio

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Enunciado

En matemáticas, el teorema del binomio proporciona la expansión de las potencias de una suma .

<math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k}\quad\quad\quad(1) \quad \and \quad 0 \le k \le n; \quad\ n,k \in \mathbb {N}</math>

donde

<math>{n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math>

De manera que sustituyendo se obtiene :

<math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {{n!y^{n-k}x^k}\over{k!(n-k)!}}</math>

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4:

<math>(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,\quad\quad\quad(2)</math>

<math>(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,</math>

<math>(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.\,</math>

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda así:

<math>(x-y)^2=x^{2}-2xy+y^{2}\,</math>

Teorema generalizado del binomio (Newton)

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

<math>{(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^k y^{r-k}\quad\quad\quad(3)}</math>

donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

<math>{r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)}{k!}</math>

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).

Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

<math>\frac{1}{(1-x)^r}=\sum_{k=0}^\infty {r+k-1 \choose r-1} x^k.</math>

La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.

Historia

Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji alrededor del año 1000.