Trigonometría
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La trigonometría (del griego, la medición de los triángulos) es una rama de las matemáticas que estudia los ángulos, triángulos y las relaciones entre ellos (funciones trigonométricas).
Posee muchas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en geografía para medir distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
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Unidades angulares
Las unidades de medida de ángulos más conocidas son los grados, minutos y segundos. Este tipo de medidas está basada en la división en partes iguales de u
Las equivalencias son las siguientes:
- 360° = un giro completo alrededor de una circunferencia
- 180° = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia
- 90° = 1/4 de vuelta
- 1° = 1/360 de vuelta, etc.
También se puede definir otra unidad angular, el radián, que en las aplicaciones físicas es mucho más práctico y directo que trabajar con grados.
La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia que se obtiende, dividido por el valor del radio. El valor de este ángulo es independiente del valor del radio.
De esta forma, se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia; solo basta multiplicar el radio por el ángulo en radianes.
Long. arco de circunferencia = [Ángulo en radianes] × [Radio de la circunferencia]
Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio, r, unitario:
<math> L=2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \pi \mbox { (cuando r = 1)} </math>
entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2 × π. Como además sabemos que este mismo ángulo, medido en grados mide 360°, entonces podemos definir una equivalencia:
- 2 × π radianes = 360°
y por tanto:
- 1 radián = 360°/(2 × π) = 57,29°
a partir de esta igualdad, determinamos que: 90° = π/2 radianes 60° = π/3 radianes 45° = π/4 radianes 30° = π/6 radianes
Funciones seno y coseno
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las funciones seno y coseno.
En un triángulo rectángulo, el seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, y el coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan:
- sen α = cos β = |BC| / |AB| = |BC| / 1 = |BC| = a
- cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b
A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:
| ángulo | sen | cos | tg | ctg | sec | csc |
| <math>0^0</math> | <math>0</math> | <math>1</math> | <math>0</math> | <math>\infty</math> | <math>1</math> | <math>\infty</math> |
| <math>30^0</math> | <math>\frac{1}{2}</math> | <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> | <math>\sqrt{3}</math> | <math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math> | <math>2</math> |
| <math>45^0</math> | <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | <math>1</math> | <math>1</math> | <math>\sqrt{2}</math> | <math>\sqrt{2}</math> |
| <math>60^0</math> | <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | <math>\frac{1}{2}</math> | <math>\sqrt{3}</math> | <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> | <math>2</math> | <math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math> |
| <math>90^0</math> | <math>1</math> | <math>0</math> | <math>\infty</math> | <math>0</math> | <math>\infty</math> | <math>1</math> |
Como en el triángulo rectángulo se cumple que <math>a^2 + b^2 = c^2</math>, de la figura anterior se tiene que sen α = a, cos α = b, c = 1; entonces para todo ángulo α:
- <math>\sin^2 (\alpha) + \cos^2 (\alpha) = 1</math>
Algunas identidades trigonométricas importantes son:
- sen (90 - α) = cos α
- cos (90 - α) = sen α
- sen (180 - α) = sen α
- cos (180 - α) = -cos α
- sen 2α = 2 sen α cos α
- sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β
- cos (α + β) = cos α cos β - sen α sen β
Véase también:
Función tangente
En un triángulo rectángulo, la tangente (abreviada como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
- <math>\tan(a) = BC / AC = \sin(a) / \cos(a)</math>
El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es:
- tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos
- tan (π/2) = tan (90º) = +∞
- tan (-π/2) = tan (-90º) = -∞
- tan (0) = 0
- tan (π/4) = tan (45º) = 1
- tan (π/3) = tan (60º)= <math>\sqrt 3</math>
- tan (π/6) = tan (30º) = <math>\sqrt 3 /3</math>
Una identidad importante con la tangente es:
<math>\tan(\alpha + \beta) = \frac {\tan(\alpha) + \tan (\beta)} {1 - \tan(\alpha) \tan(\beta)}</math>
Fórmulas trigonométricas elementales
Estas son las seis funciones trigonometrias básicas:
- <math> sen (\alpha) = {\mbox{cateto opuesto} \over \mbox{hipotenusa}}</math>
- <math> \cos (\alpha) = {\mbox{cateto adyacente} \over \mbox{hipotenusa}}</math>
- <math> \tan (\alpha) = {\sin (\alpha) \over \cos (\alpha)}
= {\mbox{cateto opuesto} \over \mbox{cateto adyacente}}</math>
- <math> \sec (\alpha) = {1 \over \cos (\alpha)}</math>
- <math> \csc (\alpha) = {1 \over \sin (\alpha)}</math>
- <math> \cot (\alpha) = {1 \over \tan (\alpha)}</math>
