Variación

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En matemáticas, dado un conjunto <math>C</math> de <math>n</math> elementos, una variación de orden <math>k(\le n)</math> es una ordenación de <math>k</math> elementos de <math>C</math>. Cuando las variaciones sólo contienen elementos distintos, se denominan variaciones sin repetición; cuando pueden contener varias veces el mismo elemento, se denominan variaciones con repetición.

Para determinar cuántas variaciones sin repetición de orden <math>k</math> se pueden formar a partir de un conjunto de <math>n</math> elementos, basta tener en cuenta que el primer elemento de la ordenación se puede elegir de <math>n</math> formas distintas; el segundo de <math>n-1</math> formas distintas (ya que ahora falta un elemento en el conjunto); el tercero de <math>n-2</math> formas distintas, y así sucesivamente. El resultado, aplicando la regla del producto, es

<math>V_k^n=(n)_k=n(n-1)\cdots (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}</math>.

Una razonamiento combinatorio para obtener este resultado es el siguiente. Se construyen todas las permutaciones de los <math>n</math> elementos del conjunto (en total <math>n!</math>); de ellas por cada secuencia determinada de los primeros <math>k</math> elementos habrá tantas permutaciones como ordenaciones posibles haya de los restantes <math>n-k</math> elementos (esto es, <math>(n-k)!</math>). El número total de variaciones es el número de permutaciones totales dividido por el de permutaciones con la misma secuencia inicial de <math>k</math> elementos.

Para determinar las variaciones con repetición, basta tener en cuenta que en la segunda posición y siguiente pueden volverse a utilizar los elementos ya elegidos; por lo tanto

<math>VR_k^n=n^k</math>.

En música, véase Variación (música)